"Effektiver Mathematikunterricht bindet Schüler:innen aktiv ein, Verbindungen zwischen mathematischen Darstellungen herzustellen, um das Verständnis mathematischer Konzepte und Verfahren zu vertiefen und Darstellungen als Werkzeuge zum Problemlösen zu nutzen." (NCTM 2014, S. 24)

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Das National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) formuliert in Principles to Actions acht zentrale Lehrpraktiken für einen wirksamen Mathematikunterricht. Dieser Beitrag widmet sich der sechsten Praxis: mathematische Darstellungen nutzen und verknüpfen.

Haben Sie sich schon einmal gefragt, wie Sie selbst eine mathematische Idee verstehen? Betrachten wir die folgenden Situationen:

• • Ich habe 7 Kekse, die gerecht unter 4 Kindern aufgeteilt werden sollen.
  • Mein Hund braucht zweimal täglich ¾ einer Tablette, und ich nehme ihn auf eine zweieinhalbwöchige Reise mit.
  • Ich nähe ein Patchworkkissen. Die Mitte des Musters ist ein Quadrat mit 15 cm Seitenlänge, das von rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecken umrahmt wird. Die Hypotenusen der Dreiecke liegen genau an den Seiten des Quadrats.

Was haben Sie sich bei jeder dieser Situationen vorgestellt? Wie haben Sie die Situation vor Ihrem inneren Auge oder auf Papier dargestellt? Haben Sie eine Skizze angefertigt? Haben Sie zu Anschauungsmaterial oder einem Blatt Papier gegriffen, um die Situation nachzubilden? Haben Sie einen Term oder eine Gleichung aufgeschrieben?

Im Buch Adding it Up schreibt der amerikanische National Research Council: „Da Mathematik abstrakt ist, haben Menschen NUR durch die Darstellungen mathematischer Ideen Zugang zu diesen Ideen." (NRC 2001). Selbst die Sätze, mit denen ich die obigen Situationen beschrieben habe, sind bereits Darstellungen.

Wie wir Lernende mit Darstellungen unterstützen, wie wir Darstellungen miteinander verknüpfen und wie wir Schüler:innen darin begleiten, geeignete Darstellungen auszuwählen, zu nutzen und effektiv zwischen ihnen zu wechseln, ist von entscheidender Bedeutung. Unser Ziel ist letztlich, dass Schüler:innen Darstellungen als Werkzeuge zum Problemlösen verstehen, nicht als Selbstzweck.

Die fünf Darstellungsarten

Im Mathematikunterricht unterscheiden wir typischerweise fünf Darstellungsarten:

• • visuell (ikonisch: Bilder, Diagramme, Skizzen)
  • symbolisch (Zahlen, Terme, Gleichungen, Formeln)
  • verbal (gesprochene und geschriebene Sprache)
  • kontextuell (situativ, eingebettet in eine Alltagssituation)
  • physisch (enaktiv: Handlung mit Material, Manipulation)

Diese werden oft in einem verbundenen Diagramm dargestellt, das die Beziehungen zwischen den Darstellungsformen sichtbar macht. In der deutschsprachigen Mathematikdidaktik kennen wir dieses Prinzip auch als EIS-Prinzip (enaktiv, ikonisch, symbolisch) nach Jerome Bruner.

Entscheidend ist, wie wir Schüler:innen helfen, Verbindungen herzustellen, sowohl zwischen verschiedenen Darstellungsarten als auch innerhalb einer Darstellungsart.

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Das NCTM-Werk Principles to Actions (2014) nennt drei konkrete Strategien:
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1. 1. Bewusste Auswahl von Darstellungen anregen. Schüler:innen wählen Darstellungen zielgerichtet aus, statt unreflektiert auf die erstbeste Methode zurückzugreifen.
   2. Aktiven Dialog über explizite Verbindungen zwischen Darstellungen führen: nicht nur darstellen, sondern auch darüber sprechen.
   3. Richtung der Verknüpfungen variieren: sich nicht nur von der Situation zur Symbolik bewegen, sondern auch von der Formel zur Skizze, vom Bild zum Term, von der Handlung zur Sprache.

Magma Math kann Lehrkräfte dabei unterstützen, gemeinsam mit Schüler:innen Verbindungen zwischen und innerhalb von Darstellungen herzustellen. Betrachten wir diese Aufgabe:

Bei einer Erste-Hilfe-Schulung sind 24 Lehrkräfte, 16 Flugbegleiter:innen und 36 Rettungsschwimmer:innen anwesend. Die Teilnehmenden sollen in Gruppen aufgeteilt werden. In jeder Gruppe müssen gleich viele Lehrkräfte, gleich viele Flugbegleiter:innen und gleich viele Rettungsschwimmer:innen sein. Außerdem darf jede Gruppe höchstens 19 Teilnehmende umfassen. In wie viele Gruppen können die Teilnehmenden eingeteilt werden?

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Und eine Auswahl der Schüler:innenlösungen dazu.

Es lohnt sich, hier zu erwähnen, dass viele weitere mathematische Lehrpraktiken zusammenspielen: etwa Entscheidungen darüber, wie ich die Arbeit von Schüler:innen für die Besprechung auswähle und anordne und wie wir Verbindungen zwischen Darstellungen herstellen.

Ich beobachte, dass die Schüler:innen 6, 4 und 12 eher konkrete Darstellungen gewählt haben. Vielleicht möchte ich das Gespräch genau hier beginnen, bei der Frage, wie diese konkreten Darstellungen miteinander zusammenhängen, um möglichst vielen Schüler:innen einen Zugang zu ermöglichen.

Welche gezielten Fragen helfen weiter?

Welche gezielten Fragen können wir stellen, damit Schüler:innen die Lösungen und ihre Beziehungen verstehen?

Ich bin neugierig, wie Schüler:in 2 entschieden hat, 6 Kreise zu zeichnen, aber offenbar nur 4 davon zu nutzen. Und wie hat Schüler:in 3 die Lösung zusammengesetzt? Ich würde die Lösung von Schüler:in 3 für die Klasse erneut abspielen und dabei pausieren, um über die getroffenen Entscheidungen zu sprechen.

Außerdem würde ich Verbindungen zwischen den Lösungen von Schüler:in 3 und Schüler:in 4 herstellen: Wo gleichen sie sich, wo unterscheiden sie sich? Wäre die Lösung von Schüler:in 3 der von Schüler:in 4 ähnlicher, wenn die Plättchen umsortiert worden wären, anstatt sie mit einer Linie zu halbieren?

Als Nächstes könnte ich zu den rein numerischen, also symbolischen, Darstellungen wechseln und die Klasse bitten, Verbindungen zwischen den verschiedenen Verfahren herzustellen: Woher kommt die 4 in jeder Lösung? Warum ist das das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache), ist es das überhaupt? Was ist eigentlich das kgV, und was ist der ggT (größte gemeinsame Teiler)? Wie unterscheiden wir die beiden? Und wie sehen kgV und ggT eigentlich visuell aus?

Zum Schluss würde ich Schüler:innen bitten, Verbindungen zwischen den Darstellungsarten herzustellen.

Wie tauchen die beiden Zweien in den Lösungen von Schüler:in 2 und Schüler:in 4 in den Darstellungen von Schüler:in 3 und 4 wieder auf? Warum mit 2 beginnen? Funktioniert das immer?

Schüler:innen ermutigen, neue Darstellungsformen auszuprobieren

Im nächsten Schritt ermutigen wir Schüler:innen, mehrere Darstellungsformen zu nutzen, um die Mathematik zu erfassen. Ich bitte Schüler:innen besonders gern, die nächste Aufgabe in der Darstellungsweise einer anderen Person zu lösen, einfach um sie auszuprobieren.

Darstellungen auszuwählen und mit ihnen zu experimentieren, ist für mich einer der spielerischen, erfüllendsten Aspekte der Mathematik. Es ist eine Chance für Schüler:innen und für uns, kreativ zu werden. Und manchmal, selbst wenn wir die Antwort schon kennen, kann uns das Spielen mit einer neuen Darstellung neue Einsichten schenken und noch interessantere mathematische Momente schaffen.

Mehr aus der NCTM-Reihe

Dieser Beitrag ist Teil 6 unserer Serie zu den 8 mathematischen Lehrpraktiken des NCTM. (Verlinkungen zu Teil 1–5 und Teil 7–8 ergänzen, sobald diese ebenfalls auf Deutsch erschienen sind.)